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Geometría Diferencial y Aplicaciones
Curso 2017/18
1. Datos Descriptivos de la Asignatura
ASIGNATURA: Geometría Diferencial y Aplicaciones CÓDIGO: 299342907
- Centro: Facultad de Ciencias
- Titulación: Graduado en Matemáticas
- Plan de Estudios: G034 (publicado en 05-01-2012)
- Rama de conocimiento: Ciencias
- Itinerario/Intensificación: Matemática Pura y Aplicada
- Departamento/s: - Área/s de conocimiento:
  • Geometría y Topología
- Curso: 4
- Carácter: Optativa
- Duración: Cuatrimestral
- Créditos ECTS: 6.0
- Horario: http://www.ull.es/view/centros/matematicas/Horarios_5/es
- Dirección web de la asignatura: http://www.campusvirtual.ull.es
- Idioma: Español/Inglés (75%/25%)


2. Requisitos para cursar la asignatura
No existen requisitos para cursar esta asignatura. Altamente recomendable haber cursado la asignatura Geometría Diferencial


3. Profesorado que imparte la asignatura
Profesor/a Coordinador/a: EDITH PADRON FERNANDEZ
- Grupo: Teoría, PA y PE
- Departamento: Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa
- Área de conocimiento: Geometría y Topología
- Lugar Tutoría: Despacho 76 (3ª planta) en Edif. Facultades de Matemáticas y Física
- Horario Tutoría: Lunes y Miércoles de 17:00 - 20:00
- Teléfono (despacho/tutoría): 922318162
- Correo electrónico: mepadron@ull.es
- Dirección web docente: http://www.campusvirtual.ull.es


4. Contextualización de la asignatura en el plan de estudio
- Bloque formativo al que pertenece la asignatura: Optativas
- Perfil profesional: Graduado/a en Matemáticas


5. Competencias
Básicas
[CB4] Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
[CB5] Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
Específicas
[CE1] Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
[CE3] Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
[CE5] Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas de las Matemáticas.
[CE6] Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
[CE7] Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.


6. Contenidos de la asignatura
Contenidos teóricos y prácticos de la asignatura
Introducción a las variedades. Espacios de configuración de sistemas mecánicos. Subvariedades. Grupos de Lie. Espacio tangente y cotangente. Espacios fase de velocidades y de momentos de un sistema mecánico. Cálculo diferencial en variedades.


- Profesor/a: Edith Padrón Fernández
- Temas (epígrafes):

Tema 1.- Variedades diferenciables

1.0 Preliminares: Superficies
1.1 Definición de variedad diferenciable
1.2 Ejemplos
1.3 Variedades producto y cocientes. Espacios proyectivos
1.4 Espacios de configuración de sistemas mecánicos

Tema 2.- Aplicaciones diferenciables

2.1 Función diferenciable
2.2 Aplicaciones diferenciables entre variedades


Tema 3.- Espacio tangente y cotangente

3.1 Vector tangente. Espacio tangente
3.2 Covector. Espacio cotangente
3.3 Fibrado tangente y cotangente
3.4 Espacio fase de velocidades y de momentos de un sistema mecánico
3.5 Diferencial de una aplicación


Tema 4.- Subvariedades

4.1 Rango de una aplicación diferenciable. Teorema del rango
4.2 Inmersiones y sumersiones
4.3 Subvariedades inmersas y embebidas
4.4 Ejemplos.

Tema 5.- Campos de vectores y formas diferenciales

5.1 Campos de vectores
5.2 El álgebra de Lie de los campos de vectores
5.3 Formas diferenciales
5.4 Flujos y campos de vectores

Tema 6.- Grupos de Lie

6.1 Grupos de Lie. Ejemplos
6.2 Homomorfismos de grupos de Lie
6.3 Álgebras de Lie
6.4 La representación adjunta
6.5 La aplicación exponencial de grupos de Lie
6.6 Subgrupos de Lie
.
Tema 7. Formulación geométrica de la Mecánica Hamiltoniana

7.1 Mecánica Hamiltoniana
7.2 Forma simpléctica sobre una variedad
7.3 Formulación geométrica de las ecuaciones de Hamilton


Actividades a desarrollar en otro idioma
Las tareas que se realicen a lo largo del curso se entregarán en inglés. También aparecerán en inglés todo el material, incluyendo el entorno de aula virtual y las transparencia que se exponga en las clases. En inglés se impartirán los objetivos y comentarios iniciales de los epígrafes que conforman cada uno de los temas del curso.


7. Metodología y volumen de trabajo del estudiante
Descripción
Las clases teóricas se dedicarán a la exposición de contenidos, presentación de ejemplos y resolución de problemas o ejercicios complementarios que hagan más sencilla la comprensión de la materia. En ocasiones el modelo se aproximará a la lección magistral y en otras se procurará una mayor implicación del alumno. Las clases de problemas estarán dedicadas a la resolución de problemas y su posterior corrección y puesta en común.

Actividades formativas en créditos ECTS, su metodología de enseñanza-aprendizaje y su relación con las competencias que debe adquirir el estudiante
Actividades formativas Horas presenciales Horas de trabajo autónomo Total Horas Relación con competencias
Clases teóricas  30.00   45.00   75  [CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]
Clases prácticas (aula / sala de demostraciones / prácticas laboratorio)  23.00      23  [CB4], [CB5], [CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]
Preparación de exámenes     22.50   22.5  [CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]
Realización de exámenes  3.00      3  [CB4], [CB5], [CE1], [CE6], [CE7]
Otros (seguimientos, seminarios y tutorías)  4.00   22.50   26.5  [CB4], [CB5], [CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]
Total horas  60   90   150 
Total ECTS  6 


8. Bibliografía / Recursos
Bibliografía básica
Boothby, W. M.: An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry (2nd. edition). Academic Press, Inc. New York, 1986. [BULL]

W. D. Curtis and F. R. Miller: Differential manifolds and theorical physics. Academic Press, Inc. San Diego, New York, 1985. [BULL]


Loring W. Tu: An Introduction to manifolds, Springer New York, 16 dic. 2007 - 368 páginas [BULL]

Bibliografía complementaria
Helgason, S.: Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. Academic Press., New York, 1978 [BULL]

Warner, F. W. : Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Scott Foresmann, Illinois, 1971. [BULL]


Libro de ejercicios:

 Gadea P. M., Masqué J. M. and Mykytyuk. I. V.: Analysis and Algebra on Differentiable Manifolds (2nd edition), Springer, London, 2013 [BULL]
Otros recursos
Plataforma de docencia virtual de la ull.


9. Sistema de evaluación y calificación
Descripción
La adquisición de las competencias por el estudiante se verificará mediante una combinación de examen final y evaluación continua. En esta última se evaluará la participación y el rendimiento del estudiante en las clases teóricas y prácticas, tutorías, dos pruebas intermedias, así como su respuesta a otros trabajos que podrán ser planteados por el profesor. No se exigen requisitos mínimos para acceder a la evaluación continua.

La calificación final de la asignatura será la máxima entre la nota del examen final y la ponderación del examen final con la evaluación continua, dándole a esta última un peso del 80%.


Estrategia Evaluativa
TIPO DE PRUEBA COMPETENCIAS CRITERIOS PONDERACIÓN
Pruebas objetivas  [CB4], [CB5], [CE1], [CE5], [CE6], [CE7]   Se realizarán dos pruebas a lo largo del semestre. Se calibrará el nivel de asimilación de la asignatura   70% 
Pruebas de desarrollo  [CB4], [CB5], [CE1], [CE3], [CE5], [CE6], [CE7]   Examen final de carácter general dentro de las convocatorias oficiales   20% 
Trabajos y proyectos  [CB4], [CE1], [CE5], [CE6], [CE7]   Problemas en grupos realizados en clase    10% 


10. Resultados de Aprendizaje
 - Manejar las nociones de variedad y subvariedad.
- Saber trabajar con coordenadas adaptadas a una variedad y a una subvariedad.
- Conocer y manejar la estructura de Grupo de Lie.
- Describir la estructura diferenciable de los fibrados tangente y cotangente de una variedad.
- Comprender la nociones de variedad y fibrados tangente y cotangente como modelos matemáticos aplicados a la Mecánica.
- Entender los campos de vectores como sistemas de ecuaciones de primer orden y sus curvas integrales como las soluciones de los mismos.
- Dominar el cálculo diferencial en variedades.
- Relacionar algunos conceptos de la geometría diferencial con la Mecánica Clásica




11. Cronograma / calendario de la asignatura
Descripción
 La asignatura se desarrollará en 15 semanas de clase, con 4 horas de clase presencial por semana, 2 de teoría y 2 de prácticas en grupo único (lunes y miércoles).

La distribución de los temas y de las actividades de enseñanza-aprendizaje por semanas es orientativo y puede sufrir cambios según las necesidades de organización docente. Para la asignación de horas por semana se ha tenido en cuenta el calendario académico de la ULL. 


Segundo Cuatrimestre
SEMANA Temas Actividades de
enseñanza aprendizaje
Horas
de trabajo
presencial
Horas
de trabajo
autónomo
Total
Semana 1:  Tema 1    1.1 Definición de variedad diferenciable.
1.2 Ejemplos
1.3 Variedades producto y cocientes. Espacios proyectivos. 
 4.00   3.00   7 
Semana 2:  Tema 1-2    1.3 Variedades producto y cocientes. Espacios proyectivos.
1.4 Espacio de configuración de sistemas mecánicos.

 
 4.00   4.50   8.5 
Semana 3:  Tema 2-3    2.1 Función diferenciable
2.2 Aplicaciones diferenciables entre variedades
 
 2.00   4.50   6.5 
Semana 4:  Temas 3    3.1 Vector tangente. Espacio tangente
3.2 Covector. Espacio cotangente
3.3 Fibrado tangente y cotangente
3.4 Espacio fase de velocidades y de momentos de un sistema mecánico 
 5.00   4.50   9.5 
Semana 5:  Temas 3-4
 
 3.5 Diferencial de una aplicación
4.1 Rango de una aplicación diferenciable. Teorema del rango

 
 4.00   4.50   8.5 
Semana 6:  Tema 4    Primer prueba (evaluación continua)
4.2 Inmersiones y sumersiones
 
 4.00   4.50   8.5 
Semana 7:  Tema 4    4.3 Subvariedades inmersas y embebidas
4.4 Ejemplos


 
 4.00   4.50   8.5 
Semana 8:  Tema 5   5.1 Campos de vectores
5.2 El álgebra de Lie de campos de vectores 
 4.00   4.50   8.5 
Semana 9:  Tema 5   5.3 Formas diferenciales
5.4 Flujos y campos de vectores 
 4.00   4.50   8.5 
Semana 10:  Tema 6   Segunda prueba (evaluación continua)
6.1 Grupos de Lie. Ejemplos
6.2 Homomorfismos de grupos de Lie


 
 4.00   5.50   9.5 
Semana 11:  Tema 6   6.3 Álgebras de Lie
6.4 La representación adjunta 
 4.00   3.50   7.5 
Semana 12:  Tema 6   6.5 La aplicación exponencial de grupos de Lie
6.6 Subgrupos de Lie 
 4.00   4.50   8.5 
Semana 13:  Tema 7   7.1 Mecánica Hamiltoniana
 
 2.00   4.50   6.5 
Semana 14:  Tema 7   7.2 Forma simpléctica sobre una variedad
 
 4.00   5.50   9.5 
Semana 15:  Tema 7   7.3 Formulación geométrica de las ecuaciones de Hamilton
 
 4.00   5.00   9 
Semanas 16 a 18:     Preparación y realización de exámenes   3.00   22.50   25.5 
Total horas 60 90 150

Fecha de última modificación: 13-07-2017
Fecha de aprobación: 13-07-2017